Generalized semifields

เซมิฟิลด์ที่วางนัยทั่วไป

Name: Sutep Suantai

LCSH: Set functions

LCSH: Semirings (Mathematics)

LCSH: Semigroups

LCSH: Rings (Algebra)

Abstract: A triple (S, +, · ) is said to be semiring iff S is a set and + and · are binary operations on S such that (1) (S,+) is a commutative semigroup, (2) (S, ·) is commutative semigroup, (3) (x+y) ·z=x·z+y·z for all x, y, z, ɛ , S. A semiring (D,+, ·) is said to be a ratio semiring iff (D, ·) is a group. A semiring (K,+, ·) is said to be generalized semifield iff there exists an element a in K such that (K\{ a}, ·) is a group. In this thesis we still call gernerlized semifields “semifields” Theorem Let (K,+, ·) be a semifield and a an element in K such that (K\{ a}, ·) is a group. Then (ax = a for all x ɛ K) or (ax = x for all x ɛ K) or (ae ≠ a and a² ≠ a where e is the identity of (K\{ a}, ·)), From this theorem we have three types of semifields, they are: (1) ax = a for all x ɛ K (called type I semifields w, r ,t a), (2) ax = x for all x ɛ K (called type II semifields w, r, t, a), (3) a·e ≠ a และ a² ≠ a where e is the identity of (K\{ a}, ·) (called type II semifields). Let D be a semiring and d ɛ D. Then x ɛ S is said to be an additive identity of d iff x+d =d. The set of all additive identities of d in denoted by I [subscript D] (d). Theorem Let D be a ratio semiring and a a symbol not representing any element in D. Let S⊆ I [subscript D] (1) be such that either S = {u1D719} or S is an additive subsemigroup of I [subscript D] (1) such that D\S is an ideal of (D,+) if D is infinite. Then we can extend the binary operations of D K=D ∪ {a} making K into a semifield of type II such that (1) ax = xa =a for all x ɛ K, (2) a+x = x+a = a for all x ɛ S and a+x = x+a =1+x for all x ɛ D\S, (3) a+a = a or 1 if 1+1 =1, 1+1 ถ้า 1+1 ≠1. Theorem Let D be a ratio semiring and a symbol not representing any element in D. Let d ɛ D S⊆ I [subscript D] (d) be such that either S = Φ or S additive subsemigroup I [subscript D] (d) such that D\S is an ideal of (D,+) if D is infinite. Then we can extend the binary operations D to K=D ∪ {a} making K into a semifield of type III such that (1) ax = xa = dx for all x ɛ D and a² = d², (2) a+x = x+a = a for all x ɛ S amd a+x = x+a = d+x for all x ɛ D\S, (3) a+a = a or d if 1+1 = 1 , d+d if 1+1 ≠ 1. In this thesis we also study embedding theorems involving semirings, ratio semirings, semifields and fields. Let (K,+, ·) be a semifield. Then the prime semifield of K is the smallest semifield contained in K. In this thesis we show that prime semifields always exist and we determine all prime semifield of semifields.

Abstract: เซต S ที่ประกอบด้วยไบนารีโอเปอชัน + และ · จะเรียกว่าเป็นเซมิริงก็ต่อเมื่อ (1) (S,+) เป็นเซมิกรุปที่สลับที่ได้ (2) (S, ·) เป็นเซมิกรุปที่สลับที่ได้ (3) สำหรับทุกสมาชิก x, y, z ใน s (x+y) ·z=x·z+y·z เซมิริง (D,+, ·) จะเรียกว่า เรโชเซมิริง ก็ต่อเมื่อ (D, ·) เป็นกรุป เซมิริง (K,+, ·) จะเรียกว่าเป็นเซมิฟิลด์ที่วางนัยทั่วไป ก็ต่อเมื่อมี a ɛ K ซึ่ง (K\{ a}, ·) เป็นกรุป เพื่อความสะดวกในวิทยานิพนธ์นี้เราจะเรียกเซมิฟิลด์ที่วางนัยทั่วไปว่าเซมิฟิลด์ทฤษฎีบท ให้ (K,+, ·) เป็นเซมิฟิลด์และ a เป็นสมาชิกใน K ซึ่ง (K\{ a}, ·) เป็นกรุป แล้วจะได้ว่า aX = a สำหรับทุกสมาชิก X ใน K หรือ aX = X สำหรับทุกสมาชิก X ใน K หรือ ae ≠ a และ a² ≠ a โดยที่ e เป็นเอกลักษณ์การคูณของ (K\{ a}, ·) จากทฤษฎีจะได้ว่า มีเซมิฟิลด์อยู่ 3 ชนิดคือ (1) ax = a สำหรับทุกสมาชิก x ใน K (2) ax = x สำหรับทุกสมาชิก x ใน K (3) ae ≠ a และ a² ≠ a โดยที่ e เป็นเอกลักษณ์การคูณของ (K\{ a}, ·) ให้ D เป็นเซมิริง และ d ɛ D จะเรียก x ɛ S ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวกของ d ก็ต่อเมื่อ x+d =d และให้ I [subscript D] (d) แทนเซ็ตของเอกลักษณ์การบวกของ d ทั้งหมดใน D ทฤษฎีบท ให้ D เป็นเรโชเซมิริง และ a เป็นสัญลักษณ์ที่ไม่แทนสมาชิกใดๆ ใน D ให้ S⊆ I [subscript D] (1) ซึ่งมีคุณสมบัติว่า (S= {u1D719}) หรือ (S เป็นกรุปย่อยสำหรับการบวกของ I [subscript D] (1) และ D\S เป็นไอดีลของ (D,+) ถ้า D เป็นเรโชเซมิริงอนันต์) ถ้าเราขยายการบวกและการคูณจาก D ไปยัง K=D ∪ {a} ดังต่อไปนี้ (1) ax = xa =a สำหรับทุกสมาชิก x ใน K (2) a+x = x+a = a สำหรับทุกสมาชิก x ใน S และ a+x = x+a =1+x สำหรับทุกสมาชิก x ใน D\S (3) a+a = a หรือ 1 ถ้า 1+1 =1, 1+1 ถ้า 1+1 ≠1 แล้วจะได้ว่า K=D ∪ {a} เป็นเซมิฟิลด์ ชนิดที่ 2 ทฤษฎีบท ให้ D เป็นเรโชเซมิริง และ a เป็นสัญลักษณ์ที่ไม่แทนสมาชิกใดๆ ใน D ให้ d ɛ D และ S⊆ I [subscript D] (d)ซึ่งมีคุณสมบัติว่า (S = ¢) หรือ (S เป็นกรุปย่อยสำหรับการบวกของ I [subscript D] (d) และ D\S เป็นไอดีลของ (D,+) ถ้า D เป็นเรโชเซมิริงอนันต์) ถ้าเราขยายการบวกและการคูณจาก D ไปยัง K=D ∪ {a} ดังต่อไปนี้ (1) ax = xa = dx สำหรับทุกสมาชิก x ใน D และ a² = d² (2) a+x = x+a = a สำหรับทุกสมาชิก x ใน S และ a+x = x+a = d+x สำหรับทุกสมาชิก x ใน D\S (3) a+a = a หรือ d ถ้า 1+1 = 1 , d+d ถ้า 1+1 ≠ 1 เราจะได้ว่า K=D ∪ {a} เป็นเซมิฟิลด์ชนิดที่ 3 ในวิทยานิพนธ์นี้เรายังได้ศึกษา embedding theorem บนเซมิริง เรโชเซมิริง เซมิฟิลด์ และฟิลด์ ให้ (K,+, ·) เป็นเซมิฟิลด์ แล้วไพร์มเซมิฟิลด์ของ K คือ เซมิฟิลด์ย่อยที่เล็กที่สุดของ K ในวิทยานิพนธ์นี้ได้ศึกษาทุกๆ ไพร์มเซมิฟิลด์ของเซมิฟิลด์

Chulalongkorn University. Office of Academic Resources

Address: BANGKOK

Email: cuir@car.chula.ac.th

Name: Mitchell, Sidney S.

Role: advisor

Created: 1985

Modified: 2020-07-20

Issued: 2020-07-20

วิทยานิพนธ์/Thesis

application/pdf

eng

DegreeName: Master of Science

Level: Master's Degree

Descipline: Mathematics

Grantor: Chulalongkorn University

©copyrights Chulalongkorn University

ลำดับที่.	ชื่อแฟ้มข้อมูล	ขนาดแฟ้มข้อมูล	จำนวนเข้าถึง	วัน-เวลาเข้าถึงล่าสุด
1	Sutep_su_front_p.pdf	6.46 MB
2	Sutep_su_ch1_p.pdf	1.11 MB
3	Sutep_su_ch2_p.pdf	5.09 MB
4	Sutep_su_ch3_p.pdf	22.7 MB
5	Sutep_su_ch4_p.pdf	9.29 MB
6	Sutep_su_ch5_p.pdf	25.91 MB
7	Sutep_su_back_p.pdf	1.58 MB

ใช้เวลา

0.043979 วินาที