Abstract: เราจะเรียกสิ่งทั้งสามที่เป็นอันดับ (K,+,.) ว่า กึ่งสนาม ก็ต่อเมื่อ (1) (K,.) เป็นกลุ่มสลับที่ที่มี 0, (2) (K,+) เป็นกึ่งกลุ่มสลับที่ที่มี 0 เป็นเอกลักษณ์ และ (3) x(y+z) = xy+xz สำหรับทุกๆ x,y,z K เราจะเรียกสับเซต C ไม่เท่ากับ {0} ของ K ซึ่งเป็นเซตไม่ว่างว่า กลุ่มย่อยนูนของ K ก็ต่อเมื่อ (1) สำหรับทุกๆ x,y C ซึ่ง y ไม่เท่ากับ 0 จะได้ x/y C และ (2) สำหรับทุกๆ x,y, alpha, beta K ซึ่ง alpha + beta = 1 จะได้ alpha x + beta y C เราจะเรียกโซ่ของกึ่งสนามย่อยของ K, K = K0 K1 ... Kn, ว่าอนุกรมกลุ่มย่อยนูนจำกัดโดยแท้ใน K ก็ต่อเมื่อ Ki+1 เป็นกลุ่มย่อยนูนของ Ki และ Kl = Kj สำหรับ l = j ให้ C และ C' เป็นอนุกรมกลุ่มย่อยนูนจำกัดโดยแท้ใน K เราจะกล่าวว่า C' ละเอียดกว่า C ถ้าทุกๆ พจน์ของ C ปรากฏอยู่ใน C' และถ้า C = C' แล้วเราจะกล่าวว่า C' ละเอียดกว่า C โดยแท้ เราจะเรียกอนุกรมกลุ่มย่อยนูนจำกัดโดยแท้ใน K, K = K0 K1 ... Kn {1}, ว่าอนุกรมผลประกอบ ก็ต่อเมื่ออนุกรมนั้นไม่มีอนุกรมที่ละเอียดกว่าโดยแท้ เราจะเรียกกลุ่มสลับที่ M ซึ่งมี 0 เป็นเอกลักษณ์ว่า ปริภูมิเวกเตอร์บนกึ่งสนาม K ถ้ามีฟังก์ชัน (k,m) km จาก KxM ไปยัง M ซึ่งสำหรับทุกๆ k1, k2 K และ m1, m2 M ได้ว่า (1) (k1 k2)m1 = k1(k2m1) (2) k1(m1+m2) = k1m1 + k1m2 (3) (k1+k2)m1 = k1m1+k2m1 และ (4) 1M m1 = m1 ให้ B เป็นสับเซตของปริภูมิเวกเตอร์ M บน K และ เป็นกลุ่มย่อยของ M ที่ถูกก่อกำเนิดโดยเซต KB = {kb / k K and b B) เราจะกล่าวว่า B แผ่ทั่ว M ถ้า =M เราจะเรียกสับเซต B ว่า อิสระเชิงเส้น ถ้า B สอดคล้องข้อใดข้อหนึ่งของเงื่อนไขต่อไปนี้ (1) B = phi หรือ (2) /B/ =1 และ B = {0} หรือ (3) /B/>1 และ b สำหรับทุกๆ b B เราจะเรียกเซต B ว่าเป็นฐานหลักของปริภูมิเวกเตอร์ M บน K ถ้า B เป็นเซตอิสระเชิงเส้นที่แผ่ทั่ว M และเราจะกล่าวว่า M เป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัด ถ้า M มีฐานหลักเป็นเซตจำกัด ผลสำคัญของงานวิจัยมีดังนี้ ทฤฏฎีบท ให้ K เป็นกึ่งสนามที่มีอนุกรมผลประกอบ ดังนั้นทุกๆ สองอนุกรมผลประกอบจะสมมูลกัน ทฤษฎีบท ให้ A และ B เป็นสับเซตจำกัดของปริภูมิเวกเตอร์ M บนกึ่งสนาม K ซึ่งสอดคล้องสมบัติ (*) ถ้าทั้ง A และ B เป็นฐานของ M แล้ว /A/ = /B/ โดยที่สมบัติ (*) คือ สำหรับทุกๆ alpha, beta K จะมี gamma K ซึ่ง alpha+gamma = beta หรือ beta+gamma = alpha บทตั้งซัสเซนเฮาส์ ทฤษฎีบทไชเออร์และทฤษฎีบทของปริภูมิเวกเตอร์บนกึ่งสนามที่สอดคล้องสมบัติ (*) ซึ่งขยายมาจากทฤษฎีบทต่างๆ ในปริภูมิเวกเตอร์บนสนาม